El problema matemático más misterioso de las Matemáticas recobra utilidad

Un viejo enfoque desechado para abordar el problema abierto más famoso de las Matemáticas, la Hipótesis de Riemann, resulta más práctico de lo que se había considerado anteriormente. Esta hipótesis, planteada en 1859, es un vehículo para comprender uno de los mayores misterios de la teoría de los números: el patrón que subyace a los números primos.

"En una prueba sorprendentemente breve, hemos demostrado que no se debería haber olvidado un enfoque viejo y abandonado de la hipótesis de Riemann", dice Ken Ono, teórico de la Universidad de Emory y coautor de una nueva investigación publicada en PNAS sobre un galimatías matemático pendiente de solución desde hace 150 años.

"Al simplemente formular un marco adecuado para un enfoque antiguo, hemos probado algunos teoremas nuevos, que incluyen una gran parte de un criterio que implica la hipótesis de Riemann. Y nuestro marco general también abre enfoques a otras preguntas básicas sin respuesta".

El documento se basa en el trabajo de Johan Jensen y George Pólya, dos de los matemáticos más importantes del siglo XX. Revela un método para calcular los polinomios de Jensen-Pólya, una formulación de la Hipótesis de Riemann, no uno a la vez, sino todos a la vez.

"La belleza de nuestra prueba es su simplicidad", dice Ono. "No inventamos ninguna técnica nueva ni utilizamos ningún objeto nuevo en matemáticas, pero proporcionamos una nueva visión de la Hipótesis de Riemann. Cualquier matemático razonablemente avanzado puede verificar nuestra prueba. No hace falta un experto en teoría de números".

Un viejo enfoque del problema matemático más famoso recobra utilidad Aunque el documento no llega a demostrar la hipótesis de Riemann, sus consecuencias incluyen afirmaciones previamente abiertas que se sabe que se desprenden de la hipótesis de Riemann, así como algunas pruebas de conjeturas en otros campos.

Los coautores del artículo son Michael Griffin y Larry Rolen, dos de los antiguos alumnos graduados en Emory de Ono, que ahora forman parte de la facultad de la Universidad Brigham Young y la Universidad de Vanderbilt, respectivamente, y Don Zagier del Instituto Max Matemático de Matemáticas.

"El resultado establecido aquí puede verse como una evidencia adicional de la Hipótesis de Riemann, y en cualquier caso, es un hermoso teorema independiente", dice Kannan Soundararajan, matemático de la Universidad de Stanford y experto en la Hipótesis de Riemann.

La idea para el estudio se inició hace dos años por un "problema de juguetes" que Ono presentó como un "regalo" para entretener a Zagier durante el período previo a una conferencia de matemáticas que celebraba su 65 cumpleaños. Un problema de juguete es una versión reducida de un problema más grande y complicado que los matemáticos están tratando de resolver.

Zagier describió el que Ono le dio como "un lindo problema sobre el comportamiento asintótico de ciertos polinomios relacionados con la función de partición de Euler, que es un viejo amor mío y de Ken, y de casi cualquier teórico del número clásico".

"Encontré el problema difícil de resolver y realmente no esperaba que Don llegara a ninguna parte con él", recuerda Ono. "Pero pensó que el desafío era súper divertido y pronto había creado una solución". El presentimiento de Ono era que una solución de este tipo podría convertirse en una teoría más general. Eso es lo que finalmente lograron los matemáticos.

"Ha sido un proyecto divertido en el que trabajar, un proceso realmente creativo", dice Griffin. "La matemática a nivel de investigación es a menudo más un arte que un cálculo y ese fue ciertamente el caso aquí. Nos obligó a ver una idea de Jensen y Pólya de casi 100 años de una manera nueva".

La Hipótesis de Riemann es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio, identificados por el Instituto de Matemáticas Clay como los problemas abiertos más importantes en matemáticas. Cada problema lleva una recompensa de un millón de dólares para sus solucionadores.

La hipótesis debutó en un artículo de 1859 por el matemático alemán Bernhard Riemann. Notó que la distribución de los números primos está estrechamente relacionada con los ceros de una función analítica, que llegó a llamarse la función zeta de Riemann. En términos matemáticos, la Hipótesis de Riemann es la afirmación de que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen 1/2 de parte real.

"Su hipótesis es un trabalenguas, pero la motivación de Riemann fue simple", dice Ono. "Quería contar los números primos". La hipótesis es un vehículo para comprender uno de los mayores misterios de la teoría de los números: el patrón que subyace a los números primos. Aunque los números primos son objetos simples definidos en matemática elemental (cualquier número mayor que 1 sin divisores positivos, excepto 1 y en sí mismo), su distribución permanece oculta.

El primer número primo, 2, es el único par. El siguiente número primo es 3, pero los números primos no siguen un patrón de cada tercer número. El siguiente es 5, luego 7, luego 11. A medida que continúa contando hacia arriba, los números primos rápidamente se vuelven menos frecuentes.

"Es bien sabido que hay infinitos números primos, pero se vuelven raros, incluso cuando llegas a los 100", explica Ono. "De hecho, de los primeros 100.000 números, solo 9.592 son números primos, o aproximadamente el 9,5 por ciento. Y rápidamente se vuelven más raros desde allí. La probabilidad de escoger un número al azar y tenerlo como primo es cero. Casi nunca sucede".

En 1927, Jensen y Pólya formularon un criterio para confirmar la hipótesis de Riemann: como un paso hacia el desencadenamiento de su potencial para dilucidar los números primos y otros misterios matemáticos. El problema con el criterio, que establece la hiperbolicidad de los polinomios de Jensen-Pólya, es que es infinito.

Durante los últimos 90 años, solo un puñado de los polinomios en la secuencia han sido verificados, lo que hace que los matemáticos abandonen este enfoque como demasiado lento y difícil de manejar. Para el artículo de PNAS, los autores diseñaron un marco conceptual que combina los polinomios por grados. Este método les permitió confirmar el criterio para cada grado el 100 por ciento del tiempo, eclipsando el puñado de casos que se conocían anteriormente.

"El método tiene una sensación impactante de ser universal, ya que se aplica a problemas que aparentemente no tienen relación", dice Rolen. "Y al mismo tiempo, sus pruebas son fáciles de seguir y entender. Algunas de las ideas más hermosas de las matemáticas son aquellas que tardaron mucho tiempo en darse cuenta, pero una vez que las ves, parecen simples y claras".

A pesar de su trabajo, los resultados no descartan la posibilidad de que la Hipótesis de Riemann sea falsa y los autores creen que una prueba completa de la famosa conjetura aún está lejos.